−5와 +3 중에서 어느 쪽이 더 큰가요? 음수의 세계에서는 직관이 통하지 않습니다. 새로운 기준이 필요합니다.
"5는 3보다 크다"는 너무 당연합니다. 그런데 부호가 붙으면 어떨까요?
① "어느 수가 더 클까?" → +3이 −5보다 큽니다. 수직선에서 더 오른쪽에 있으니까요.
② "어느 수가 0에서 더 멀리 있을까?" → −5가 +3보다 멀리 있습니다 (5칸 vs 3칸).
"크다"와 "멀다"는 다른 개념입니다. 음수의 세계에서는 이 둘이 일치하지 않거든요. 그래서 "0에서 떨어진 거리"라는 새 개념이 필요합니다 — 그게 절댓값입니다.
수가 양수든 음수든 상관없이 "0에서 얼마나 떨어져 있는가"만 본 값.
수직선 위에서 어떤 수에 대응하는 점과 원점 0 사이의 거리를 그 수의 절댓값이라고 합니다. 어떤 수 $a$의 절댓값은 기호 $|a|$로 나타냅니다.
거리는 음수가 될 수 없습니다. 부호를 떼어내고 남는 수의 크기만 보면 됩니다.
정수, 분수(예: −3/4), 소수(예: −2.5)를 입력하고 [계산]을 눌러 보세요.
다음 성질들은 절댓값을 다루는 모든 문제에서 끊임없이 사용됩니다.
거리는 음수가 될 수 없습니다. 어떤 수 $a$에 대해서도 $|a| \ge 0$.
$|a| = 0$이라면 $a = 0$. 그 외의 어떤 수도 절댓값이 0이 될 수 없습니다.
한 자연수 $a$ ($a > 0$)에 대해, 절댓값이 $a$인 수는 정확히 두 개입니다: $+a$와 $-a$.
0에서 멀리 있는 수일수록 절댓값이 큽니다. 가까울수록 작아지고, 0에서는 절댓값도 0.
수직선 위에서 더 오른쪽에 있는 수가 더 큰 수입니다. 이 단순한 규칙 하나로 모든 경우를 정리할 수 있습니다.
수직선 위에서 오른쪽에 있는 수가 왼쪽에 있는 수보다 크다. 이 한 가지 원칙에서 모든 대소 규칙이 나옵니다.
양수는 항상 0보다 오른쪽, 음수는 항상 0보다 왼쪽 → 양수 > 0 > 음수 항상 성립.
0에서 멀수록 오른쪽 → 절댓값이 큰 수가 더 크다.
음수는 0에서 멀수록 왼쪽으로 갑니다. 따라서 절댓값이 큰 음수일수록 더 작은 수.
실생활 예: 영하 3°C가 영하 8°C보다 덜 춥습니다. 즉 −3°C > −8°C.
| 비교 | 판단 방법 | 결과 |
|---|---|---|
| $+4$ vs $-7$ | 양수 > 음수 | $+4 > -7$ |
| $+3$ vs $+9$ | 두 양수: 절댓값 큰 것이 크다 | $+9 > +3$ |
| $-3$ vs $-9$ | 두 음수: 절댓값 큰 것이 작다 | $-3 > -9$ |
| $0$ vs $-2$ | 0 > 음수 | $0 > -2$ |
| $0$ vs $+5$ | 양수 > 0 | $+5 > 0$ |
다음 두 수의 대소 관계를 부등호로 표시하세요. 4문제 연속!
두 수 사이의 관계를 정확히 표현하려면 4가지 부등호를 익혀야 합니다.
• $a < b$ "$a$는 $b$보다 작다"
• $a > b$ "$a$는 $b$보다 크다"
• $a \le b$ "$a$는 $b$보다 작거나 같다" (이하)
• $a \ge b$ "$a$는 $b$보다 크거나 같다" (이상)
• "이상" → $\ge$ (그 수를 포함)
• "이하" → $\le$ (그 수를 포함)
• "초과" → $>$ (그 수를 포함하지 않음, 보다 크다)
• "미만" → $<$ (그 수를 포함하지 않음, 보다 작다)
개념을 제대로 익혔는지 5문제로 즉시 확인합니다.
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절댓값 = 0에서의 거리. 그리고 수직선 위 위치가 곧 크기. 다음 차시에서는 정수와 유리수의 덧셈·뺄셈을 배웁니다.
0에서 $a$까지의 거리. 항상 $|a| \ge 0$이고 부호를 떼면 됨.
$|x| = a$ ($a > 0$)인 수는 $+a$와 $-a$ 두 개.
음수 < 0 < 양수. 음수끼리는 절댓값 큰 게 작다.
$<, >$ (초과·미만) $\le, \ge$ (이하·이상, 그 수 포함).